% geometrie1.tex --- géométrie, niveau secondaire
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\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Géométrie — lycée


<h2>Angles

L'angle géométrique s'écrit $angle(ABC)$, chapeau compris ; un seul point donne $angle(A)$, trois points nomment l'angle par son sommet du milieu. Un angle droit se lit $angle(ABC) = 90°$.

<Affiche>un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice, des coins arrondis de 2 mm et un titre {Un triangle rectangle} {
	Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, l'angle $angle(ABC)$ est
	l'angle droit, $angle(BAC)$ et $angle(BCA)$ les deux angles aigus.
}

<h2>Parallèles, perpendiculaires

Deux droites parallèles : $(AB) parallèle (CD)$ ; perpendiculaires :
$(AB) perpendiculaire (CD)$ ; la négation : $(AB) !parallèle (CD)$. Deux figures isométriques : $ABC isométrique A'B'C'$ ; semblables :
$ABC semblable A'B'C'$.

<h2>Distance, milieu

La distance entre deux points est $distance(A; B)$, le milieu d'un segment $milieu(A; B)$.

<h2>Composantes

En ligne $vecteur u(3;5)$ ou en colonne $vecteur colonne u(3;5)$ ; dans l'espace, $vecteur v(1;2;3)$ et $vecteur colonne v(1;2;3)$.

<h2>Tracer une figure

L'unité vaut un centimètre ; les côtés égaux et angles droits se codent avec les marques, les longueurs s'affichent avec l'unité.

Un triangle équilatéral de côté 5, codé et mesuré :

<Trace>le triangle ABC équilatéral, de côté 5 cm, avec les marques

Un losange, par côté et angle :

<Trace>le losange ABEF, de côté 4 cm, d'angle 60, avec les mesures

Un carré, un rectangle, un cercle et un disque :

<Trace>le carré MNOP, de côté 3 cm, avec les marques

<Trace>le cercle C, de centre (0;0) et de rayon 2 cm

<Trace>le disque D, de centre (0;0) et de rayon 1,5 cm, en bleu ciel

<h2>Figure libre, sans repère

Au collège, on construit sur une figure sans coordonnées : la médiatrice, la bissectrice et la marque d'angle se tracent directement à partir des sommets, dans un bloc <<Trace>> sans repère.

<Trace>{
	le triangle ABC équilatéral, de côté 5 cm
	la médiatrice de [AB]
	la bissectrice de l'angle BAC
	l'angle ABC
}

<h2>Le repère

Un repère se décrit en toutes lettres, les points posés par <<Soit>> s'y placent d'eux-mêmes, et la médiatrice, la bissectrice ou la marque d'angle s'y tracent en une phrase.

<Soit>les points A(1;1), B(5;3), C(2;4) et D(4 ; -1)

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-1 ; 6] et l'ordonnée à [-1 ; 5] {
	la droite (AB)
	la droite (AC)
	la médiatrice de [AB]
	la bissectrice de l'angle BAC
	l'angle BAC
	le vecteur w (1;1)
}

<h2>Droites, demi-droites et segments

Trois figures nomment deux points : le segment s'arrête à ses deux extrémités, la demi-droite part de l'une et continue indéfiniment au-delà de l'autre, la droite ne s'arrête nulle part. Le crochet fermé marque l'extrémité fixe, la parenthèse le côté qui se prolonge :

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-2 ; 6] et l'ordonnée à [-2 ; 6] {
	la demi-droite [AB)
	la demi-droite (BC]
	la droite (AC)
	le segment de droite [CD]
}

<h2>Le cercle trigonométrique

<Trace>le cercle trigonométrique, avec les valeurs

<h2>Le repère orthogonal : des unités distinctes

Pour une grandeur qui varie vite en ordonnée, on compresse l'axe :

<Soit>une fonction p(x) = x^2

<Représente>graphiquement dans un repère orthogonal (O, i, j) pour x appartient à [-3 ; 3] et y à [-9 ; 9] avec des unités graphiques de 1,5 cm pour l'axe des abscisses et de 0,5 cm pour l'axe des ordonnées {
	la courbe de la fonction p
	le point S(0 ; 0)
}

<h2>Le cercle, de centre et de rayon

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-4 ; 4] et l'ordonnée à [-4 ; 4] {
	le point O(0 ; 0)
	le cercle C, de centre (0;0) et de rayon 3
}

<h2>Géométrie dans l'espace

<Trace>le solide cube, d'arête 3 cm

<Trace>le solide pyramide, de base 4 cm et de hauteur 3 cm

<h2>Vecteurs : produits

Un vecteur est $vecteur(u)$, sa norme $norme(vecteur(u))$. Le produit scalaire s'écrit en infixe, $vecteur(u) . vecteur(v)$, le produit vectoriel de même, $vecteur(u) ^ vecteur(v)$. Seul un vecteur des deux côtés les déclenche : $vecteur(u)^2$ reste un carré.

<Affiche>un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice, des coins arrondis de 2 mm et un titre {La norme par le produit scalaire} {
	$norme(vecteur(u))^2 = vecteur(u) . vecteur(u)$, et deux vecteurs
	sont orthogonaux quand $vecteur(u) . vecteur(v) = 0$.
}

La colinéarité se lit $colinéaires(u; v)$, l'orthogonalité
$vecteur(u) perpendiculaire vecteur(v)$.

<h2>Repères et symboles

Un repère du plan est $repère(O; i; j)$, de l'espace
$repère(O; i; j; k)$ ; l'orthonormé $repère orthonormé(O; i; j)$. Les symboles se lisent : un triangle $triangle(ABC)$, un arc $arc(AB)$, un angle droit $angle droit$, un cercle $cercle(O; r)$ par centre et rayon.

<h2>Vecteurs dans un repère : somme et différence

La règle du parallélogramme pour la somme, la règle du triangle pour la différence, sur une même figure :

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-5 ; 5] et l'ordonnée à [-5 ; 5] {
	le vecteur u (3;1)
	le vecteur v (1;3)
	le vecteur u depuis la pointe de v
	le vecteur v depuis la pointe de u
	le vecteur w = u + v
	le vecteur d = u - v depuis la pointe de v
}

<h2>Droites remarquables d'un triangle, dans un repère

<Soit>3 points A, B et C de coordonnées respectives (0 ; 0), (6 ; 0) et (2 ; 4)

<Trace>dans un repère où l'abscisse appartient à [-1 ; 7] et l'ordonnée à [-1 ; 5] {
	la droite (AB)
	la droite (BC)
	la droite (AC)
	la médiatrice de [AB]
	la médiatrice de [BC]
}

Les médiatrices concourent au centre du cercle circonscrit.

<h2>Les racines de l'unité, sommets d'un polygone régulier

Les racines cinquièmes de l'unité sont les sommets du pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique :

<Calcule>les racines cinquièmes de l'unité

<Trace>le cercle trigonométrique, avec les valeurs

<Affiche>un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice et un titre {Le lien algèbre-géométrie} {
	Les solutions de $z^n = 1$ forment un polygone régulier à $n$
	sommets : l'équation algébrique dessine la figure.
}

<h2>Produit scalaire et vecteurs, calculés

<Soit>les vecteurs a et b de coordonnées respectives (3 ; -2) et (4 ; 6)

<Calcule>le produit scalaire de a et b

<Calcule>la norme de a

<Calcule>l'angle entre a et b

<Soit>les vecteurs r et s de coordonnées respectives (1 ; 2 ; -1) et (2 ; 4 ; -2)

<Étudie>la colinéarité de r et s

<h2>Plans de l'espace

<Soit>le plan P d'équation 2x + y - z = 3

<Donne>un vecteur normal de P

<Calcule>la distance du point (1 ; 2 ; 0) au plan P

\end{document}
