% 第一份完整试卷 - 包含选择题、填空题、解答题
% 编译：xelatex 01-first-exam.tex
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\documentclass{exam-zh}

% 显示答案（教师版）
% \examsetup{
%   question/show-answer = true,
%   solution/show-solution = show-stay
% }

\begin{document}

% 试卷抬头
\title{2024年春季期中考试}
\subject{数学}
\maketitle

\information{
  姓名\underline{\hspace{6em}},
  班级\underline{\hspace{6em}},
  座号\underline{\hspace{4em}}
}

\begin{notice}
  \item 本试卷共 3 大题，满分 100 分，考试时间 90 分钟。
  \item 请用黑色签字笔在答题卡上作答。
  \item 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
\end{notice}

\vspace{1em}

% 一、选择题
\section{选择题（每题 5 分，共 20 分）}

\begin{question}
  已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，则 $A \cap B = $ \paren[B]
  \begin{choices}
    \item $\{1\}$
    \item $\{2, 3\}$   % 正确答案
    \item $\{1, 2, 3, 4\}$
    \item $\varnothing$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 的对称轴是\paren[C]
  \begin{choices}
    \item $x = 1$
    \item $x = 3$
    \item $x = 2$   % 正确答案
    \item $x = -2$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  若 $\sin \alpha = \frac{1}{2}$，且 $\alpha$ 为锐角，则 $\alpha = $ \paren[A]
  \begin{choices}
    \item $30^\circ$   % 正确答案
    \item $45^\circ$
    \item $60^\circ$
    \item $90^\circ$
  \end{choices}
\end{question}

\begin{question}
  下列函数中，在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的是\paren[D]
  \begin{choices}
    \item $y = -x$
    \item $y = x^2$
    \item $y = \frac{1}{x}$
    \item $y = 2x + 1$   % 正确答案
  \end{choices}
\end{question}


% 二、填空题
\section{填空题（每题 5 分，共 20 分）}
\examsetup{question/index = 0}

\begin{question}
  若 $f(x) = 3x - 2$，则 $f(2) = $ \fillin[4]。
\end{question}

\begin{question}
  圆周率 $\uppi$ 的近似值为 \fillin[3.14159]（保留五位小数）。
\end{question}

\begin{question}
  方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根为 $x_1 = $ \fillin[2]，$x_2 = $ \fillin[3]。
\end{question}

\begin{question}
  不等式 $|x - 2| < 3$ 的解集是 \fillin[{$(-1, 5)$}]。
\end{question}


% 三、解答题
\section{解答题（共 60 分）}
\examsetup{question/index = 0}

\begin{problem}[points = 15]
  已知函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$。

  \begin{enumerate}
    \item 求 $f(x)$ 的对称轴；
    \item 求 $f(x)$ 的最小值；
    \item 求 $f(x)$ 的零点。
  \end{enumerate}

  \begin{solution}
    \begin{enumerate}
      \item 对称轴为 $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = 2$。\score{5}

      \item 配方得：$f(x) = (x - 2)^2 - 1$，\score{3}

      所以最小值为 $-1$。\score{2}

      \item 令 $f(x) = 0$，即 $x^2 - 4x + 3 = 0$，\score{2}

      因式分解得：$(x - 1)(x - 3) = 0$，\score{2}

      所以 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。\score{1}
    \end{enumerate}
  \end{solution}
\end{problem}

\begin{problem}[points = 20]
  已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 3$，$a_3 = 9$。

  \begin{enumerate}
    \item 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
    \item 求前 $n$ 项和 $S_n$；
    \item 求满足 $S_n > 100$ 的最小正整数 $n$。
  \end{enumerate}

  \begin{solution}
    \begin{enumerate}
      \item 设公差为 $d$，则 $a_3 = a_1 + 2d$，\score{2}

      即 $9 = 3 + 2d$，解得 $d = 3$。\score{2}

      所以 $a_n = a_1 + (n - 1)d = 3 + 3(n - 1) = 3n$。\score{2}

      \item $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(3 + 3n)}{2} = \dfrac{3n(n + 1)}{2}$。\score{6}

      \item 由 $S_n > 100$ 得 $\dfrac{3n(n + 1)}{2} > 100$，\score{2}

      即 $3n^2 + 3n - 200 > 0$。\score{2}

      解得 $n > \dfrac{-3 + \sqrt{2409}}{6} \approx 7.67$，\score{3}

      所以最小正整数 $n = 8$。\score{1}
    \end{enumerate}
  \end{solution}
\end{problem}

\begin{problem}[points = 25]
  已知函数 $f(x) = x^3 - 3x$。

  \begin{enumerate}
    \item 求 $f(x)$ 的单调区间；
    \item 求 $f(x)$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值；
    \item 若方程 $f(x) = a$ 有三个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围。
  \end{enumerate}

  \begin{solution}
    \begin{enumerate}
      \item $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x + 1)(x - 1)$。\score{3}

      令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 1$。\score{2}

      当 $x < -1$ 时，$f'(x) > 0$；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$；

      当 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$。\score{3}

      所以 $f(x)$ 的递增区间为 $(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$，

      递减区间为 $(-1, 1)$。\score{2}

      \item 由（1）知，$f(x)$ 在 $x = -1$ 处取极大值，在 $x = 1$ 处取极小值。\score{2}

      $f(-2) = -2$，$f(-1) = 2$，$f(1) = -2$，$f(2) = 2$。\score{4}

      所以最大值为 $2$，最小值为 $-2$。\score{2}

      \item 由（2）知，$f(x)$ 的极大值为 $f(-1) = 2$，极小值为 $f(1) = -2$。\score{2}

      方程 $f(x) = a$ 有三个不同的实根，

      等价于直线 $y = a$ 与曲线 $y = f(x)$ 有三个交点，\score{3}

      所以 $-2 < a < 2$。\score{2}
    \end{enumerate}
  \end{solution}
\end{problem}


\end{document}
